数学の問題で、与えられた2つの関数が同じ変域を持つ条件を求める問題があります。今回は、関数y=ax² (a<0) と y=-4x+b の変域が一致するための条件を求める問題です。この記事では、解法のステップを分かりやすく解説します。
問題の概要
この問題では、2つの関数y=ax² (a<0)とy=-4x+bが、xの変域-1≤x≤2において同じyの変域を持つ条件を求めます。まずは、各関数のyの変域を求め、それが一致するための条件を導きます。
ステップ1: y=ax² (a
まず、y=ax² (a<0)の関数の変域を求めます。この関数は、xの変域が-1≤x≤2の範囲で与えられています。関数の形式は二次関数なので、aの値により放物線が下向きに開きます。
y=ax²のグラフが下向きであるため、最大値はx=0の時に達します。まず、x=0を代入して、最大値を求めます。
y = a(0)² = 0 となるため、yの最大値は0です。
次に、x=-1およびx=2のときのyの値を求めます。
- x=-1のとき：y = a(-1)² = a
- x=2のとき：y = a(2)² = 4a
これにより、yの値は、x=-1のときにa、x=2のときに4aになります。aは負の値なので、yの最大値は0、最小値は4aとなります。
ステップ2: y=-4x+b の変域を求める
次に、y=-4x+b の変域を求めます。この関数は一次関数で、直線のグラフになります。
まず、xの範囲-1≤x≤2におけるyの値を求めます。
- x=-1のとき：y = -4(-1) + b = 4 + b
- x=2のとき：y = -4(2) + b = -8 + b
このように、yの最小値は-8+b、最大値は4+bとなります。
ステップ3: 変域が同じになる条件
問題の条件は、yの変域が同じであることです。つまり、y=ax²の変域がy=-4x+bの変域と一致するように、aとbの値を求めなければなりません。
y=ax²の変域は、最大値0、最小値4aです。y=-4x+bの変域は、最大値4+b、最小値-8+bです。これらの変域が一致するためには、以下の条件が必要です。
- 最大値が一致する：0 = 4 + b
- 最小値が一致する：4a = -8 + b
ステップ4: 方程式を解く
まず、最大値が一致する条件からbを求めます。
0 = 4 + b なので、b = -4です。
次に、最小値が一致する条件にb = -4を代入してaを求めます。
4a = -8 + (-4) となり、4a = -12 です。
したがって、a = -3です。
まとめ
以上の解法により、与えられた関数y=ax² (a<0)とy=-4x+bが同じ変域を持つためには、a=-3およびb=-4であることがわかりました。
この問題では、関数の変域を求めるために、まず関数ごとにxの範囲を代入してyの最小値と最大値を計算し、それらが一致するように条件を設定しました。数学の問題を解く際には、まず問題を分解して、各ステップを順番に解いていくことが大切です。
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