数学の問題において、整数解を求める問題はよく出題されます。特に分数の形で与えられる式が整数となる条件を探す問題は、少し工夫が必要です。この記事では、自然数nがどのようにして最小値を求められるか、具体的な手順と共に解説します。
問題の整理
この問題では、n^2／1500 と n^3／5832 が共に整数となる自然数nを求めることが求められています。まずはそれぞれの式が整数になるための条件を整理してみましょう。
n^2／1500が整数となるための条件
最初にn^2／1500が整数であるための条件を考えます。この式が整数であるためには、分母1500がn^2で割り切れる必要があります。1500の素因数分解を行うと、
1500 = 2^2 * 3 * 5^2となります。この素因数がn^2に含まれていなければなりません。具体的には、n^2の素因数に2、3、5が適切な指数で含まれていなければならないことがわかります。
n^3／5832が整数となるための条件
次に、n^3／5832が整数となるための条件を考えます。5832の素因数分解は、
5832 = 2^3 * 3^6となり、n^3がこの素因数で割り切れることが求められます。つまり、nには2^3および3^6のうち、適切な指数を持つ素因数が含まれる必要があります。
nの最小値を求める
n^2／1500とn^3／5832が共に整数であるための条件を満たすnを求めるためには、まずnが持つべき素因数の指数を見積もる必要があります。
n^2に含まれる素因数は、1500の素因数である2^2、3、5^2をすべて含んでいる必要があります。そして、n^3には5832の素因数である2^3、3^6をすべて含んでいなければなりません。これらの条件を満たす最小のnを求めると、nは以下のようになります。
n = 2^3 * 3^6 * 5^2 = 11664000解法のまとめ
このようにして、n^2／1500およびn^3／5832が共に整数となる最小の自然数nは11664000です。求め方としては、まずそれぞれの式が整数となるために必要な素因数の指数を求め、その条件を満たすnを計算するという流れになります。
まとめ
この問題では、分数の形で与えられた式が整数になるために必要な条件を整理し、nが満たすべき素因数の指数を求めることがポイントでした。最小のnを求めるために、各式に対応する素因数の条件を適切に組み合わせることで、解を導き出すことができます。
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